Zvuk a dozvuk
Nyní se podíváme trochu podrobněji, co se děje v uzavřeném prostoru, ve kterém se pohybuje zvuková vlna. Nejprve malé opakování a shrnutí.

Zvuková vlna naráží na stěny, odráží se od nich, při odrazech ztrácí část energie, a pokud se do prostoru žádná další akustická energie nedodává, vlna po čase zanikne. To, co se mezitím v prostoru děje a co můžeme případně i slyšet nebo sledovat měřením, je doznívání nebo dozvuk. Proces útlumu doznívající vlny se řídí poměrně přesnými pravidly. Základním pravidlem je to, že při každém dopadu (a odrazu) vlna ztratí jistou poměrnou část energie, jinými slovy, v jistém poměru se zeslabí. Poměr zeslabení závisí na vlastnostech materiálu překážky, s níž se zvuková vlna střetla. Dá se také říci, že překážka z dopadající vlny odčerpá jistou poměrnou část energie. Jak jsme si řekli v první části, tato odčerpaná energie se převážně mění v teplo, může však také zčásti uniknout mimo prostor, v němž se námi sledovaná zvuková vlna pohybuje. Vlastnosti materiálu z hlediska energetických ztrát udává činitel pohltivosti. Je to bezrozměrné číslo, které udává poměrnou ztrátu energie při kolmém dopadu (a odrazu). Označuje se obvykle řeckým písmem malé alfa - Činitel pohltivosti obecně závisí na frekvenci a vlastnosti materiálů se popisují tabulkami nebo grafy, v nichž jsou uvedeny hodnoty činitele pohltivosti pro normalizované zlomkooktávové frekvence (oktávy, třetiny oktávy), zpravidla v rozmezí 100 Hz až 10 kHz, často však i v rozsahu menším.

Dokonale odrazivý materiál má činitel pohltivosti rovný nule, dokonale pohltivý materiál pak jedné. Dobrým představitelem téměř dokonale odrazivého materiálu je např. leštěný kámen. Materiál, který by byl dokonale pohltivý nezávisle na frekvenci, bychom těžko hledali. Existují však materiály, které jsou prakticky dokonale pohltivé alespoň v jistém frekvenčním pásmu, zpravidla na středních a vyšších frekvencích. V technických tabulkách můžeme dokonce objevit i materiály, jejichž činitel pohltivosti je pro některou frekvenci větší než jedna. To může vypadat jako fyzikální paradox, ve skutečnosti to však signalizuje, že teorie, na jejímž základě jsou odvozeny metody pro měření činitele pohltivosti, není zcela přesná. Následující dva obrázky ukazují, jak může vypadat frekvenční závislost činitele pohltivosti. 

Graf s označením CARPT HVY odpovídá těžkému koberci, POLYSON pak je tvarovaný „molitan“ (takové ty známé šedočerné jehlánky, které se hojně používají pro akustické úpravy). Z grafu pro Polyson je patrné, že pro frekvence od 2 kHz výše pohlcuje prakticky dokonale, zatímco u nízkých frekvencí je jeho pohltivost nevalná. To je dosti všeobecný jev – vyšší frekvence jsou pohlcovány snáze než nižší a dokonce i při šíření zvuku samotným vzduchem dochází k jistému útlumu, který směrem k vyšším frekvencím dosti rychle vzrůstá.Pro další výklad bude užitečné zavést si akustickou veličinu zvanou akustická hustota. Tou se rozumí množství energie zvukového pole v jednotkovém objemu (rozměr by byl joule na krychlový metr – [J/m3]). Je to skalární veličina úzce související s akustickým tlakem – akustická hustota v daném bodě je přímo úměrná druhé mocnině akustického tlaku. Její význam při zkoumání dozvuku spočívá v tom, že dozvukové dění (doznívání) se fyzikálně odehrává v doméně energie, pokud ovšem chceme toto dění sledovat měřením, musíme se spokojit s měřením akustického tlaku, poněvadž přímou metodikou nic jiného vlastně měřit neumíme (až na některé velmi exotické výjimky, kterými se nebudeme zabývat). 

Představme si nyní, že máme nějaký uzavřený prostor, jehož stěny mají jistý činitel pohltivosti Objem prostoru označíme V a celkovou plochu ohraničujících stěn S. Součin S. někdy nazývá pohltivá plocha, popř. efektivní pohltivá plocha. Do prostoru přivedeme množství energie E, takže v něm vybudíme akustické pole o hustotě E/V. Tedy – vlastně nevybudíme. To bychom udělali, kdybychom do prostoru přivedli příslušné množství energie a neexistovaly by žádné energetické ztráty. Jenže díky ztrátám energie z prostoru neustále uniká a množství energie, které z prostoru unikne za jednotku času, se rovná součinu hustoty energie a efektivní pohltivé plochy. Pokud tedy chceme v prostoru, ve kterém existují energetické ztráty, udržet nějakou stálou hustotu energie, musíme energii neustále doplňovat. Pak vznikne rovnovážný stav, při kterém se množství energie do prostoru přiváděné rovná množství energie z prostoru unikající. Pozor – nejde o to, že by se prostor přiváděnou energií nějak „nasytil“ nebo „zahltil“. Čím více energie do prostoru přivádíme, tím vyšší bude rovnovážná hustota – platí zde přímá úměrnost. Zahltit se může nanejvýš sluch, pokud hustota energie (a tudíž akustický tlak) bude příliš vysoká.

Představme si dále, že akustické pole, které se v rovnovážném stavu vytvořilo, je dokonale difúzní. To v prvním přiblížení znamená, že hustota energie je všude stejná – pole je homogenní. A nyní přerušme přívod energie do prostoru. V důsledku ztrát všeho druhu začne celkové množství zvukové energie a tedy také hustota energie v prostoru klesat. Charakter poklesu bude takový, že za jednotku času se energie sníží v jistém poměru. Názorně řečeno – jestliže se za první sekundu sníží energie na polovinu, pak za další sekundu poklesne na polovinu poloviny čili na čtvrtinu, za další sekundu na polovinu poloviny poloviny čili na osminu atd. Matematicky je takový časový průběh popsán klesající exponenciální funkcí. Na základě exponenciální zákonitosti poklesu energie v prostoru při doznívání je definována základní veličina popisující dozvuk, totiž doba dozvuku, td. Je to doba, za kterou celková energie poklesne na jednu milióntinu výchozí hodnoty (10-6). Vzhledem k tomu, že se stále jedná o jevy poměrného charakteru, nezávisí doba dozvuku na výchozí energii. Poněvadž však souvisí s vlastnostmi stěn prostoru, může být závislá na frekvenci.Na základě představy o plynulém rovnoměrném úniku energie z prostoru, jehož všechny stěny mají stejný činitel pohltivosti je možné odvodit vzorec udávající nebo lépe řečeno předpovídající dobu dozvuku v závislosti na vlastnostech prostoru. To je tzv. Sabineův vzorec, který má tvar

td = 0,164 V / S.

Vzorec je to vskutku jednoduchý, při bližší prohlídce však shledáme, že má jednu zásadní vadu. Jestliže činitel pohltivosti je nulový, čili v prostoru nevznikají při odrazech žádné ztráty, je výsledná doba dozvuku nekonečná. To je celkem logické. Stejně tak logicky by se dalo očekávat, že při činiteli pohltivosti rovném jedné žádný dozvuk nevznikne, poněvadž veškerá energie se pohltí hned při prvním odrazu, a doba dozvuku bude tudíž nulová. Tento požadavek však již Sabineův vzorec nesplňuje. Chyba je v tom, že při odvození Sabineova vzorce se nebere v úvahu konečná rychlost šíření zvuku. Pokud s konečností rychlosti zvuku počítáme, dostaneme poněkud složitějším odvozením vzorec Eyringův ve tvaru

td = 0,164 V / S. – ln(1– )

Tento vzorec už je po stránce hraničních hodnot činitele pohltivosti zcela v pořádku. Za zmínku stojí, že existuje ještě jeden vzorec, který je velmi málo známý, a to vzorec Kynclův (podle svého českého objevitele). Jeho malá popularita je patrně dána tím, že ačkoli je velmi jednoduchý, je výsledkem velmi složité analýzy. Jeho tvar je

td = 0,164 V. (1– / S.)

Všechny uvedené vzorce jsou odvozeny za předpokladu, že všechny stěny prostoru, v němž se dozvuk odehrává, mají stejný činitel pohltivosti. Pokud tomu tak není, situace se mimořádně komplikuje a v podstatě neexistuje žádný jednoduchý způsob, jak v takovém případě dobu dozvuku vypočítat. Jediná možnost, jak dojít k výsledku alespoň přibližnému, je nahrazení činitele pohltivosti váhovaným průměrem činitelů pohltivosti dílčích stěn. Postup je takovýto: Předpokládejme, že prostor je ohraničen n stěnami o dílčích plochách Sn, jejichž součet je celková ohraničující plocha S, a každá stěna má svůj činitel pohltivosti n. Výsledný průměrný činitel pohltivosti s dostaneme výpočtem

s = (1.S1 + 2.S2 + … + n.Sn) / Sa
tento průměrný činitel pohltivosti pak dosadíme do příslušného vzorce. Výsledek je vcelku přijatelný, pokud se dílčí činitele pohltivosti od sebe příliš neliší a pokud jsou víceméně „rovnoměrně rozloženy“. V extrémních případech, například je-li strop místnosti odrazivý a stěny pohltivé nebo naopak, strop je pohltivý a stěny odrazivé, už takové zjednodušení průměrováním nefunguje a můžeme dojít ke zcela chybným předpovědím. To souvisí mimo jiné také s tím, že v prostoru, kde je činitel pohltivosti po stěnách rozložen velmi nerovnoměrně, není pokles energie během doznívání exponenciální.Předpovídání doby dozvuku na základě výpočtu má význam hlavně tehdy, jestliže potřebujeme navrhnout konstrukční resp. stavební řešení nějakého prostoru pro danou cílovou dobu dozvuku. Ta se stanoví podle účelu, pro který je daný prostor určen. Jaká má být v jakém prostoru doba dozvuku, to je stanoveno různými normami a doporučeními. Nejvhodnější velikost doby dozvuku pro určitý druh použití prostoru je známá ze zkušenosti, což příslušné normy respektují a vlastně jsou na tomto základě formulovány. Např. při mluveném slově nebo reprodukci řeči je na závadu nadměrná doba dozvuku, která zhoršuje srozumitelnost. Pro sály využívané k poslechu živě produkované hudby je zase nutný jistý přiměřený dozvuk, jinak by hudba zněla nehezky a nepřirozeně. Extrém představuje hudba varhanní, která nejlépe zní v kostele. Přitom platí jedna všeobecná zásada, a sice čím větší objem prostor má, tím delší v něm vychází optimální doba dozvuku. Neplatí však zde žádná jednoduchá závislost, jen velmi zhruba se dá říci, že optimální doba dozvuku roste přibližně lineárně s logaritmem objemu prostoru. Krajní mezí jsou na jedné straně malé prostory jako např. obytné místnosti nebo poslechová kontrolní či předváděcí studia o objemu do 100 m3, u kterých je doporučená doba dozvuku přibližně 0,3 sekundy. Na opačném konci jsou pak velké koncertní sály (třebas i s varhanami), u kterých může být objem 20 000 m3 a doba dozvuku 2 sekundy i více. Mimo tento rámec leží prostory typu sportovních hal, prostory pro náboženské obřady a podobně. Patrně absolutním extrémem je proslulý Tádž Mahal, kde je údajně v oblasti středních frekvencí doba dozvuku kolem 25 sekund. (Mimochodem pražská Betlémská kaple měla před rekonstrukcí na aulu ČVUT v prázdném stavu dobu dozvuku až 12 sekund.)

Objem 20 000 m3 je pro symfonický orchestr tak trochu „magické“ číslo. Je to totiž – samozřejmě s jistou tolerancí – maximální objem, který je možné symfonickým orchestrem vybudit na přijatelnou intenzitu sluchového vjemu. To platí za předpokladu, že doba dozvuku je přiměřená objemu, v tomto případě přibližně 1,8 sekundy, přičemž u nízkých frekvencí je hranice poněkud vyšší. Smutně proslulé zkušenosti s pokusy provozovat symfonický orchestr ve velkém sále Kongresového centra v Praze jsou dány právě tím, že tento prostor je pro symfonický orchestr příliš velký. Nápravu lze zjednat speciální elektroakustickou technologií, která je v tomto sále k dispozici, z různých autorovi ne právě jasných důvodů se však nevyužívá.
Role dozvuku při poslechu reprodukované hudby v domácích podmínkách je poněkud jiná než v prostorech pro živé provozování hudby nebo záznam zvuku. Zvukové záznamy jsou již vybaveny vlastním dozvukem a poslechový prostor by jej už neměl dále přidávat. To platí i pro prostory, sloužící k předvádění nebo posuzování zařízení k domácímu použití (hifi studia) - zde by akustické podmínky měly odpovídat stavu obvyklému v obytných místnostech. Kolik a jaký

O dozvuku tedy platí - všeho s mírou. Dobu dozvuku ovšem nestačí jen předpovídat, je zapotřebí ji také měřit. V hotových prostorech kontrolujeme, zdali je všechno v pořádku, v prostorech určených k úpravě (popř. nápravě) potřebujeme vědět, jak se věci mají, aby bylo možné stanovit, co pro zlepšení udělat. Definice doby dozvuku je jasná a jednoduchá, uplatnit ji pro měření však už tak jednoduché není. Energie obsažená v prostoru sice při doznívání plynule klesá, to ovšem platí pouze pro veškerou energii v prostoru obsaženou. Pokud se pokusíme stanovit dílčí průběh poklesu na základě měření hustoty energie (akustického tlaku) v některém konkrétním bodě, máme šanci naměřit plynulý pokles pouze v případě, že pole je ideálně difúzní, a to není nikdy. Konkrétní průběh akustického tlaku proto obvykle vypadá nějak tak, jak to ukazuje následující obrázek.

Z takového obrázku se toho příliš mnoho nepozná. Pro zjišťování doby dozvuku se proto používají různé nepřímé grafické metody zpracování, jejichž výstupem je většinou časový průběh logaritmu nějaké veličiny, která charakterizuje okamžitou hustotu energie v měřícím bodě. Takový průběh je na následujícím obrázku. 

Ani tady není jednoduché něco rozpoznat. Proto se zpravidla provádí víc měření a jejich výsledky se průměrují. Kromě toho jsou k dispozici jisté více či méně rafinované metody počítačového zpracování, které zrychlují práci a omezují vliv „lidského faktoru“ na výsledek.Na téma měření dozvuku by se dala napsat samostatná kniha; my si k tomu řekneme jen pár základních věcí. Především, měření doby dozvuku je zapotřebí provádět tak, abychom získali informaci o její frekvenční závislosti. To je trochu komplikované, poněvadž nějaká přímá metoda pro tento účel neexistuje. Prakticky jsou k dispozici dvě hlavní možnosti. Buďto při měření budíme prostor signálem, který je omezený pouze na požadované frekvenční pásmo, a pro každé měření vyhodnotíme výsledek odděleně. Anebo prostor budíme širokopásmově, tedy signálem, který pokrývá celý sledovaný frekvenční rozsah, přijímaný signál zpracujeme filtrem, který jej omezí pouze na požadované pásmo, a vyhodnocení provádíme následně. Je také možné oba tyto postupy kombinovat, tj. prostor budit frekvenčně omezeným signálem a vyhodnocovat jej v omezeném frekvenčním pásmu. Šířky pásma bývají zpravidla určeny tzv. zlomkooktávovými pásmy, tj. pásmy, které mají šířku buďto jedna oktáva (tj. poměr krajních frekvencí 1 : 2) anebo jedna třetina oktávy (poměr krajních frekvencí přibližně 1 : 1,26), přičemž střední frekvence pásem jsou dány standardními frekvencemi podle doporučení IEC. Rozsah, ve kterém se měří, je u oktávových pásem zpravidla 125 Hz až 8 kHz, u třetinooktávových pásem pak 100 Hz až 10 kHz. Může však být užitečné i měření mimo tyto hranice, např. pro kina s vícekanálovou reprodukcí zvuku je doba dozvuku nezávazně doporučena již od 31,5 Hz (standard THX, převzatý do ČSN). A dále, praktické měření doby dozvuku se téměř nikdy neprovádí v celém rozsahu poklesu, pro který je doba dozvuku definována, tedy v rozsahu 60 dB (poměr krajních akustických tlaků 1000 : 1). Rozsah poklesu je shora omezen maximálním akustickým tlakem, jaký v prostoru dokážeme vybudit, a zdola je omezen úrovní rušivých signálů, které jsou všudypřítomné. Obvyklý použitelný rozsah poklesu nebývá větší než 30 dB a doba dozvuku se stanoví lineární extrapolací, tedy např. známe-li dobu potřebnou pro pokles o 20 dB, můžeme s ohledem na exponenciální charakter poklesu předpokládat, že k poklesu o 60 dB by došlo za dobu trojnásobnou.Paprsky a vlnyVšechny doposud prováděné úvahy a odvození vycházely z předpokladu, že šíření zvukového signálu můžeme popisovat na základě představy zvukového paprsku. Platnost tohoto předpokladu má ale jistá zásadní omezení. Zvuk je především vlnění. Zvukový signál má nějakou frekvenci, vlny se pohybují určitou rychlostí a rychlosti a frekvenci odpovídá vlnová délka, která je daná jako rychlost šíření signálu dělená frekvencí. Představa zvuku jako paprsku v prostoru je přípustná, pokud prostorové objekty, v nichž jej studujeme, mají rozměry aspoň třikrát větší než je vlnová délka. Pokud se tedy pohybujeme v prostorech charakteru obytných místností (typicky je to omezeno stropem, jehož výška bývá alespoň 2,5 m), má představa paprsku opodstatnění pro frekvence asi tak od 400 Hz výše. Pro nižší frekvence je nutné zvuk vyšetřovat především jako vlnění. Vlnová teorie zvuku je velice náročná disciplína a zde nebudeme zabíhat do podrobností. Zmíníme se trochu podrobněji hlavně o tom, s čím se - aspoň podle názvu - setkal asi každý, kdo se trochu víc zajímal o hifi, a to jsou stojaté vlny. Vznik stojatých vln se obvykle vysvětluje na příkladu pohybu vlny pohybující se kolmo mezi dvěma rovnoběžnými dostatečně velkými stěnami. To si nejlépe znázorníme schématickým vyobrazením. Budeme přitom předpokládat, že vzdálenost stěn je rovná přesně trojnásobku vlnové délky a je jich odrazivost je dokonalá (= 0).

Vlna symbolizovaná plnou vlnovkou se pohybuje zleva doprava. Odrazí se od pravé stěny a pohybuje se zpět (přerušovaná vlnovka, pro přehlednost trochu svisle posunutá).

Vlevo se opět odrazí … a tak dále až do nekonečna. Přitom se sčítáním postupně se odrážejících vln vytvoří soustava bodů, tzv. uzlů rychlosti, v nichž je nulová hodnota akustické rychlosti (průsečíky modré čáry s čerchovaně vyznačenou osou pohybu vlny), a kmiten rychlosti, v nichž je hodnota akustické rychlosti maximální (průsečíky červené čáry s osou). Uzlům rychlosti přitom odpovídají kmitny akustického tlaku a kmitnám rychlosti uzly akustického tlaku. Pokud se vzdálenost stěn rovná celočíselnému násobku poloviny vlnové délky, zůstává poloha kmiten a uzlů konstantní – kmitny a uzly jakoby stojí na místě a proto říkáme, že se vytvořila stojatá vlna. Název „stojatá“ samozřejmě neznamená, že pohyb ve vlně by se nějak zastavil. „Stojí“ právě jen ty kmitny a uzly, což jsou body, křivky nebo plochy (podle toho, jak je celý systém vln složitý), na kterých je nulová hodnota akustické rychlosti nebo tlaku. Jedním takovým uzlem je vždy odrazivý povrch sám o sobě. Na něm je totiž nulová hodnota akustické rychlosti, poněvadž částečky vzduchu se na rozhraní s dokonale tuhým povrchem nemohou pohybovat. Naproti tomu je na této ploše maximum (kmitna) akustického tlaku. A další taková místa vznikají samozřejmě i v prostoru mezi stěnami. Zásadně platí, že pro jakýkoliv geometrický útvar, ohraničený dokonale odrazivými plochami a vymezující tak nějaký prostor, se vždy dá najít nekonečně velký počet frekvencí, na kterých se v tomto prostoru vytvoří stojaté vlny. Pokud stěny tohoto prostoru zvuk částečně pohlcují, vytvoří se také soustava nepohyblivých kmiten a uzlů, rozdíl je jen v tom, že hodnota té které veličiny není v uzlu přesně nulová, ale vykazuje jen lokální minimum. Konkrétní tvar prostoru má vliv jen na konkrétní hodnoty frekvencí, pro které se stojaté vlny vytvoří, (v matematicko - fyzikální terminologii se jedná o tzv. vlastní módy a vlastní frekvence prostoru, které dostáváme jako součást řešení příslušných vlnových rovnic), a pokud je prostor uzavřený, není vůbec nutné, aby jeho stěny byly rovnoběžné, natož pak rovinné. Různé sešikmování nebo zakřivování tvarů či vkládání pyramidkových nebo jiných členitých struktur na vnitřní stěny prostoru vznik stojatých vln ani v nejmenším neohrozí, pokud tyto struktury současně nepohlcují zvuk. Velikost pohltivosti stěn má vliv na poměr mezi maximálním a minimálním akustickým tlakem (popř. rychlostí) v systému stojatých vln, který se v prostoru vytvoří. Čím je pohltivost větší (tj. bližší jedné), tím je tento poměr menší a případný vliv stojatých vln na akustické jevy v prostoru méně výrazný. Krajním případem pak je prostor s dokonale pohltivými stěnami, ve kterém se stojaté vlny nevytvoří vůbec.